Elementy

Menu

Reklama

Planimetria

Księgi I–IV poświęcone są geometrii płaskiej.

Dotyczy podstaw geometrii płaszczyzny. Euklides podaje w niej definicje podstawowych pojęć budowanej teorii, pewniki i w ów sposób zwane aksjomaty. Oto piątka stwierdzeń nazwanych na mocy Euklidesa aksjomatami:

1. Wielkości równe tej samej wielkości są równocześnie równe.
2. Równe dodane do równych, dają równe sumy.
3. Równe odjęte od chwili równych, dają równe różnice.
4. Rzeczy, które się pokrywają, są równe.
5. Całość jest większa od chwili części.

Jasny jest ogólny styl tych stwierdzeń, mogłyby one podobnie przyzwoicie wydobyć się w Metafizyce Arystotelesa w charakterze naczelne zasady bytu.

Słynnych piątka pewników Euklidesa brzmi w wolnym tłumaczeniu jak następuje:

1. Dowolne dwa punkty wolno zmieszać odcinkiem.
2. Dowolny odcinek wolno wydłużyć nieograniczenie.
3. Dla danego odcinka wolno uwydatnić okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
4. Wszystkie kąty proste są równe.
5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od chwili dwu kątów prostych, przetną się spośród tej naturalnie strony, jeżeli się je poprawnie przedłuży.

Tu uwaga: w ostatnim pewniku Euklides pisze o "prostych", używając sformułowania jeśli się je poprawnie przedłuży. Ta pozorna różnica stanie się zrozumiała, jeżeli wziąć przy uwagę, że Grecy nie posługiwali się pojęciem nieskończoności tak, jak my dziś je używamy. nieskończoność oznaczała na przedmiot nich nieograniczoną możliwość kontynuacji czegoś skończonego, w ów sposób w takim razie linia w ich rozumieniu była tym, co dziś nazywane jest odcinkiem.

Natychmiast spośród tego widać, dlaczego piąty pewnik Euklidesa budził tyle wątpliwości wśród całych pokoleń matematyków. pierwsze danie ślady tego znajdują się w Komentarzu do pierwszej księgi Elementów Proklosa. Zauważa on, iż wyrażenie tego pewnika zajmuje niezupełnie tyle miejsca, co pozostałych czterech, tudzież "pewność" daleka jest od chwili oczywistości. Uporczywe starania, ażeby wyprowadzić piąty pewnik spośród pozostałych, doprowadziły spośród początku XVIII wieku Włocha Giovanniego Saccheriego do zapoczątkowania w ów sposób zwanej geometrii absolutnej, oznacza owo bazującej na czterech pierwszych aksjomatach (choć mężczyzna sam jeden o tym nie wiedział!).

Dalsze metoda matematyków wykazały, że piąty pewnik Euklidesa nie zależy od chwili pierwszych czterech i, zastępując go innymi, wolno otrzymywać inne geometrie. Ponieważ pewnik ów równoważny jest stwierdzeniu:

analizowano konsekwencje jego zaprzeczenia. Okazało się, że spójne geometrie wolno uzyskać w dwóch przypadkach: na mocy punkt nie leżący na prostej wolno poprowadzić bez granic mnóstwo prostych równoległych do danej oznacza owo nie da się poprowadzić żadnej prostej równoległej. Pierwszą drogą poszli Gauss, Bolyai i Łobaczewski, otrzymując w ów sposób zwaną geometrię hiperboliczną, drugą poszedł w połowie XIX stulecia Bernhard Riemann, ojciec chrzestny geometrii eliptycznej. Ostateczną akceptację geometrii nieeuklidesowych zapewniły modele geometrii Bolyai-Łobaczewskiego zaproponowane w XIX w. na mocy Eugenio Beltramiego oraz Feliksa Kleina.

Z pierwszej księgi Elementów pochodzą podobnie przyzwoicie znane wszystkim określenia:

i inne. dziś pojęcia punktu, linii i powierzchni traktujemy w charakterze w ów sposób zwane pojęcia pierwotne, tj. nie podlegające definicji (choć de facto aksjomaty są definicjami pojęć pierwotnych, w ów sposób zwanymi definicjami w uwikłaniu). Euklides atoli najwyraźniej uważał, że czytelnikowi należy zainspirować pewne intuicje, co w żadnym razie sam jeden donikąd do tych intuicji się nie odwołuje.

Oprócz tego w księdze I Euklides opisuje nieco podstawowych konstrukcji geometrycznych (symetralna odcinka, dwusieczna kąta), dowodzi elementarnych własności kątów, trójkąta i twierdzenia Pitagorasa.

Poświęcona jest temu, co dziś nazywamy algebrą geometryczną, oznacza owo interpretacjom geometrycznym podstawowych wzorów algebry. Grecy uprawiali skoro arytmetykę sposobem geometrycznym – na przykład rozprzestrzenianie liczb realizowali w charakterze rozprzestrzenianie odpowiednich odcinków. W księdze II Euklides konstruuje, między innymi, na przedmiot danego odcinka o długości odcinek o długości oraz dowodzi wzorów skróconego mnożenia.

To geometria okręgu. Euklides omawia w tym miejscu pojęcie kąta wpisanego, pojęcie stycznej do okręgu i temat potęgi punktu względem okręgu.

Omawia tematyka możliwości opisania wielokąta na okręgu i okręgu na wielokącie oraz wpisania wielokąta w okrąg i okręgu w wielokąt. swoją drogą są w tym miejscu podane konstrukcje 3-, 4-, 5-, 6-, 10- i 15-kątów foremnych.